Question

已知向量=（1，1），向量与向量的夹角为，且=-1．
（1）求向量；
（2）若向量与=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos²），其中A，C为△ABC的内角，且A+C=，求||的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设=（x，y），由=-1，可得x+y=-1．再由 =||||cos，化简可得 x²+y²=1，求得x、y的值，可得的值．
（2）由条件可得=（0，-1），又因为 =（cosA，cosC），求得|+|²=1+cos（2A+）．结合A的范围，可得||取得最小值．
解答：解：（1）设=（x，y），=-1，可得x+y=-1．  ①…（2分）
又与的夹角为，所以 =||||cos，化简可得 x²+y²=1． ②
由①②解得，或，
故=（-1，0），或=（-1，0）．…（6分）
（2）由向量与垂直知=（0，-1），由 A+C=可得 0＜A＜．…（8分）
又因为 =（cosA，2-1）=（cosA，cosC），
所以|+|²=cos²A+cos²C=+=1+[cos2A+cos（-2A）]
=1+cos2A-sin2A=1+cos（2A+）．
再由 ＜A+＜，可得当A+=π时，||取得最小值为 =．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．