Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1
（1）求向量

n

；
（2）设向量

a

=（1，0），向量

b

=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

))，若

a

•

n

=0，记函数f(x)=

m

•(

n

+

b

)，求此函数的单调递增区间和对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）设所求向量坐标为（x，y），利用向量数量积的坐标运算和夹角公式列出关于x、y的方程组，解方程组即可得所求
（2）先利用向量数量积运算法则将函数f（x）化为三角函数式，再利用二倍角公式，两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，最后利用正弦函数的图象性质通过解不等式求得函数的单调递增区间和对称轴方程．

解答：解：（1）设

n

=（x，y），依题意

x+y=-1 x+y 2 x2+y2 =cos 3π 4

即

x+y=-1 -1 2 x2+y2 =- 2 2

，解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=（0，-1）或

n

=（-1，0）
（2）∵

a

•

n

=0，∴

n

=（0，-1）
∵f(x)=

m

•(

n

+

b

)=（1，1）•(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

)-1)=cosx+2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=cosx+cos2(

π

3

-

x

2

)=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴此函数的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]
由x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

π

3

，
∴此函数的对称轴方程为x=kπ+

π

3

，

点评：本题考察了向量的坐标表示，向量的数量积运算及其性质，向量的夹角公式，向量垂直的充要条件，三角变换公式及三角函数的图象和性质