Question

已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦．
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立，求出A与B的坐标，再代入弦长即可求p的值；
（2）设出点C的坐标以及圆的圆心N，利用A、B、C三点在圆上，得出圆心坐标N和点C的坐标之间的关系式；再利用抛物线L在点C处的切线与NC垂直，代入即可求点C的坐标．
解答：解：（1）由解得A（0，0），B（2p，2p）
∴，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线
令圆的圆心为N（a，b），
则由得
得⇒
∵抛物线L在点C处的切线斜率
又该切线与NC垂直，
∴
∴
∵t≠0，t≠4，
∴t=-2
故存在点C且坐标为（-2，1）．
点评：本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相切、垂径定理、抛物线与圆的几何性质等知识，考查学生的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．