Question

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，点D为椭圆E上任意一点．△DF₁F₂面积最大值为1，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设T为直线x=2上任意一点，过右焦点F₂，作直线TF₂的垂线交椭圆E于点P、Q，线段PQ的中点为N，
     证明：O、N、T三点共线（其中O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设D（m，n），由椭圆的范围，可得△DF₁F₂面积最大值为bc=1，再由离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设T（2，t），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点N（x₀，y₀），由F₂（1，0），设PQ：x=-ty+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：设D（m，n），|n|≤b，
则${S}_{△D{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•|n|≤bc=1，
由题意可得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：设T（2，t），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
中点N（x₀，y₀），
由F₂（1，0），设PQ：x=-ty+1，
代入椭圆方程，可得（t²+2）y²-2ty-1=0，
即有△=4t²+4（t²+2）＞0，y₁+y₂=$\frac{2t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{t}^{2}}$，
于是y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{2+{t}^{2}}$，x₀=-ty₀+1=1-$\frac{{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+{t}^{2}}$，
即有中点N（$\frac{2}{2+{t}^{2}}$，$\frac{t}{2+{t}^{2}}$），由k_ON=$\frac{t}{2}$=k_OT，
则有O，N，T三点共线．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查三点共线的方法：斜率相等，属于中档题．