Question

【题目】已知数列满足，，我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列.如当时，得到无穷数列：0，，，，…，当时，得到有穷数列：，，1.

（1）当a为何值时，；

（2）设数列满足，，求证：a取中的任一数，都可以得到一个有穷数列；

（3）是否存在实数a，使得到的是无穷数列，且对于任意，都有成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) 或

【解析】

(1)根据递推公式分别依次计算即可.

(2)由题中所给与当时,得到有穷数列：,,1.可知若有则该数列为有穷数列.且,故可以考虑反推证明能够有正整数满足即可.

(3) 由与可得的范围,再分与的情况讨论即可.

(1)由题,,

,故.

(2)因为故.又a取中的任一数不妨设.

则,故,

同理

……

.

故,因为不存在,故为有穷数列.

即a取中的任一数，都可以得到一个有穷数列

(3) 由对于任意，都有成立且可得或,又,故.又当时恒成立,故是无穷数列满足题意.

故只需即可.

又.解得或.