题目内容

5．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{4x+5-{x^2}}}}{x+1}$的定义域为集合A，函数g（x）=lg（-x2+2x+m）的定义域为集合B．
（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁RB；
（Ⅱ）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

分析 （Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；
（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{{\sqrt{4x+5-{x^2}}}}{x+1}$的定义域得A={x|-1＜x≤5}．
当m=3时，B={x|-1＜x＜3}，
则∁RB={x|x≤-1或x≥3}．
所以A∩∁RB={x|3≤x≤5}．
（Ⅱ）因为A={x|-1＜x≤5}，A∩B={x|-1＜x＜4}，
所以有-42+2×4+m=0．
解得m=8．
此时B={x|-2＜x＜4}，符合题意．
所以m=8．

点评 本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．

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