题目内容
已知椭圆C1：
+
=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．
（I）求椭圆C2的方程；
（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且
•
=4，求直线l的方程．
| y2 |
| 16 |
| x2 |
| 4 |
（I）求椭圆C2的方程；
（II）设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且
| QA |
| QB |
（I）设椭圆C2的方程为
+
=1（a＞b＞0）
∵椭圆C1：
+
=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率
∴a=2，e=
∴c=
∴b=
=1
∴椭圆C2的方程为
+y2=1；
（II）点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0
∴-2x1=
，得x1=
，从而y1=
设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-
，
）
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
∴
=（-2，-y0），
=（2，-y0）．
由
•
=4得y0=±2
，∴l的方程为y=0；
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-
=-
(x+
)
令x=0，解得y0=-
∴
=（-2，-y0），
=（x1，y1-y0）．
∴
•
=（-2，-y0）•（x1，y1-y0）=-2•
+
（
+
）=4
∴7k2=2
∴k=±
，
∴l的方程为y=±
(x+2)．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵椭圆C1：
| y2 |
| 16 |
| x2 |
| 4 |
∴a=2，e=
| ||
| 2 |
∴c=
| 3 |
∴b=
| a2-c2 |
∴椭圆C2的方程为
| x2 |
| 4 |
（II）点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
与椭圆C2的方程联立，整理得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0
∴-2x1=
| 16k2-4 |
| 1+4k2 |
| -8k2+2 |
| 1+4k2 |
| 4k |
| 1+4k2 |
设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-
| 8k2 |
| 1+4k2 |
| 2k |
| 1+4k2 |
①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
∴
| QA |
| QB |
由
| QA |
| QB |
| 2 |
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-
| 2k |
| 1+4k2 |
| 1 |
| k |
| 8k2 |
| 1+4k2 |
令x=0，解得y0=-
| 6k |
| 1+4k2 |
∴
| QA |
| QB |
∴
| QA |
| QB |
| -8k2+2 |
| 1+4k2 |
| 6k |
| 1+4k2 |
| 4k |
| 1+4k2 |
| 6k |
| 1+4k2 |
∴7k2=2
∴k=±
| ||
| 7 |
∴l的方程为y=±
| ||
| 7 |
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