Question

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为 ，且，求证：对任意实数（是常数，＝2．71828）和任意正整数，总有 2；
（3）正数数列中，．求数列中的最大项。

Answer 1

（1）．（）    （2）见解析      （3）

【错解分析】（1）对的转化，要借助于的关系。
（2）放缩法是此题的难点。
【正解】解：(1)由已知：对于，总有 ①成立
∴  （n≥2）②  
①--②得
∴
∵均为正数，∴  （n≥2）
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时，，解得=1∴．（）
（2）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤．
∴

（3）解：由已知 ，   

易得
猜想n≥2时，是递减数列．令
∵当
∴在内为单调递减函数．
由．
∴n≥2时，是递减数列．即是递减数列．
又 ，∴数列中的最大项为．