Question

如图，已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线C交于两点，，且（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连结AD、BD得到．
（i）求实数a，b，k满足的等量关系；
（ii）的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）为定值

解析试题分析：(Ⅰ)依题意：，解得.抛物线方程为.
(Ⅱ)(i)由方程组消去得：.（※）
依题意可知：.
由已知得，.
由，得，即，整理得.
所以 .
(ii)由(i)知中点，所以点，
依题意知.
又因为方程（※）中判别式，得.
所以 ，
由（Ⅱ）可知，所以.
又为常数，故的面积为定值.
考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系的判断和应用，三角形面积公式的应用，考查学生的运算求解能力.
点评：判断直线与抛物线的位置关系时，不要忘记验证判别式