Question

已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a²-（b-c）²和sinB+sinC=

4

3

（a，b，c为角A，B，C所对的边）
（1）求sinA；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出tan

A

2

的值，进而有sinA=

8

17

．
（2）利用sinB+sinC=

4

3

，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．

解答：解：（1）由S=

1

2

bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA得

1

4

=

1-cosA

sinA

=tan

A

2

进而有sinA=

8

17

（2）∵sinB+sinC=

4

3

，∴

b

2R

+

c

2R

=

4

3

即b+c=

4

3

•2R=16所以
S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

(

b+c

2

)2=

256

17

故当b=c=8时，S_最大=

256

17

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．