题目内容

已知外接圆半径为6的△ABC的边长a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a²-（b-c）²和 $数学公式$ ．
（1）求sinA的值；
（2）求△ABC面积的最大值．

解：（1）由S= $\text{[math]}$ bcsinA=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccosA得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =tan $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）（2）∵sinB+sinC= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即b+c= $\text{[math]}$ •2R=16，所以S= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ bc≤ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）2= $\text{[math]}$ ，
故当b=c=8时，△ABC面积取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出tan $\text{[math]}$ 的值，进而有sinA= $\text{[math]}$ ．
（2）利用sinB+sinC= $\text{[math]}$ ，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．