Question

在数列{a_n}中，a₁=1，n≥2时，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先根据n≥2时，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比数列建立等式关系，令n=2，n=3，n=4，可分别求出a₂，a₃，a₄；
（2）将S_n²=a_n（S_n-

1

2

）中的a_n用S_n-S_n-1表示，化简可得{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=1，公差为2的等差数列，求出S_n，最后利用由an=

s1(n=1) sn-sn-1(n≥2)

求出a_n即可．

解答：解：（1）∵n≥2时，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比数列．
∴S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
当n=2时，S₂²=a₂（S₂-

1

2

），即（1+a₂）²=a₂（1+a₂-

1

2

）
解得a₂=-

2

3

当n=3时，S₃²=a₃（S₃-

1

2

），即（1-

2

3

+a₃）²=a₃（1-

2

3

+a₃-

1

2

）
解得a₃=-

2

15

当n=4时，S₄²=a₄（S₄-

1

2

），即（1-

2

3

-

2

15

+a₄）²=a₄（1-

2

3

-

2

15

+a₄-

1

2

）
解得a₄=-

2

35

∴a2=-

2

3

，a3=-

2

15

，a4=-

2

35

（2）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）   （n≥2）
化简得2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴等式两边同时除以S_nS_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2）
∴{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=1，公差为2的等差数列
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1
则S_n=

1

2n-1

（n≥2）
当n=1时，也满足上式
∴S_n=

1

2n-1

（n≥1）
a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

-2

(2n-1)(2n-3)

（n≥2）
当n=1时，上式也成立
故an=

-2

(2n-1)(2n-3)

点评：本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，同时考查了已知S_n求通项a_n的方法，属于中档题．