题目内容

【题目】已知椭圆，、分别是椭圆长轴的左、右端点，为椭圆上的动点.

（1）求的最大值，并证明你的结论；

（2）设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）的最大值为；证明见解析（2）

【解析】

（1）设，（，），过点作轴，垂足为，由三角函数的概念可得，，由两角和的正切公式可得，求出后由椭圆对称性即可得解；

（2）由题意可知，利用即可得，由的取值范围即可求得的取值范围，即可得解.

（1）根据椭圆的对称性，不妨设，（，）.

过点作轴，垂足为，则，

于是，有，，

，

点在椭圆上，

，，，

而，

，

，

的最大值为，此时，即点为椭圆的上顶点.

根据椭圆的对称性，当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，其最大值为.

（2）设直线的斜率为，，

则，，，

又，，

，，，

故直线的斜率的取值范围为.

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