Question

设集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}，
（1）若A∩B=A∪B，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解x²+4x=0可得集合A，又由A∩B=A∪B可得A=B，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根为0、-4，由根与系数的关系可得关于a的方程，解可得答案；
（2）根据题意，由A∩B=B可得B⊆A，进而可得B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}，分别求出a的值，综合可得答案．

解答：解：（1）A={x|x²+4x=0，x∈R}={0，-4}
若A∩B=A∪B，则A=B，
则有a+1=2且a²-1=0，
解可得a=1
（2）若A∩B=B，则B⊆A
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；
①当B=∅时，△=[2（a+1）]2-4•（a²-1）＜0⇒a＜-1
②当B={0}时，

0=-2(a+1) 0=a2-1

⇒a=-1
③当B={-4}时，

-4-4=-2(a+1) 16=a2-1

⇒a不存在

④当B={0，-4}时，

-4+0=-2(a+1) 0=a2-1

⇒a=1
∴a的取值范围为（-∞，-1]∪{1}．

点评：本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（2）时，注意分析B=∅的情况．