Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k（x-2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出、、，再代入关系式可确定k的值，从而得解．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）+1，
由得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得．
又，，
且，即，
所以．即．
所以，解得．
所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．