题目内容
【题目】如图（1），边长为
的正方形
中，
，
分别为
、
上的点，且
，现沿
把
剪切、拼接成如图（2）的图形，再将
，，
沿
，
，
折起，使
、
、
三点重合于点
，如图（3）.
（1）求证：
；
（2）求二面角
最小时的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）利用图形翻折的几何关系可得出
，
，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出
平面
，由此可证明出
；
（2）以
为原点，
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，令
，
，可得出
，求出平面
和平面的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角
最小时的余弦值.
（1）折叠前
，
，折叠后，，
又
，所以平面，因此；
（2）由（1）及题意知
，因此以为原点，、、分别
为、、轴建立空间直角坐标系如图：
令，，，所以
，
，
设平面法向量为
则
所以
，令
，则
又平面法向量为
，
设二面角的大小为
，所以
，
又
，
当且仅当
取等号，所以
.
所以二面角最小时的余弦值为.
练习册系列答案
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【题目】由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能的智能激光型打印机.针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案：
方案一：一次性缴纳
元，在未来五年内，可免费上门维修
次，超过次后每次收取费用
元；
方案二：一次性缴纳
元，在未来五年内，可免费上门维修
次，超过次后每次收取费用
元.
该公司搜集并整理了
台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示：
维修次数 |
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台数 |
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|
以这台打印机使用五年的维修次数的频率代替
台打印机使用五年的维修次数的概率，记
表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由.
