题目内容
【题目】设函数
.
(1)若当
时，
取得极值，求
的值，并求的单调区间.
(2)若存在两个极值点
，求的取值范围，并证明：
.
【答案】（1）
，
的单调增区间为
，单调减区间为
. （2）
，证明见解析
【解析】
（1）求导数
，由题意可知
为方程
的根，求解
值，即可.再令导数
，
，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.
（2）函数存在两个极值点，等价于方程
即
在
上有两个不等实根，则
，即可. 
变形整理为
；若证明不等式
，则需证明
，由
变形为
，不妨设
，即证
，令
，则
，求函数
的取值范围，即可证明.
（1）
时，取得极值.
.
解
得
或
解
得
的单调增区间为，单调减区间为.
（2）
存在两个极值点
方程即在上有两个不等实根.
，
.
所证不等式等价于
即
不妨设，即证
令，
，
在
上递增.
成立.
成立.
【题目】随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1100名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
分组 | 频数（单位：名） |
使用“余额宝” |
|
使用“财富通” |
|
使用“京东小金库” | 40 |
使用其他理财产品 | 60 |
合计 | 1100 |
已知这1100名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.
（1）求频数分布表中
，
的值；
（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为
，“财富通”的平均年化收益率为
，“京东小金库”的平均年化收益率为
，有3名市民，每个人理财的资金有10000元，且分别存入“余额宝”“财富通”“京东小金库”，求这3名市民2018年理财的平均年化收益率；
（3）若在1100名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，求“这2人都使用‘财富通’”的概率.
注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利率，理财产品“平均年化收益率为
”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.
