Question

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，
由可得，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

=
=
=
=．
如果，即，则当sinθ=-1时，d²有最大值，由题设得，
由此得，与矛盾．
因此必有成立，于是当时，d²有最大值，由题设得，
由此可得b=1，a=2．
所求椭圆的参数方程是，由可得，
椭圆上的点和到点P的距离都是．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．