Question

已知函数f（x）=x²-x+1，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=f（a_n），其中n∈N^*．
（Ⅰ）证明：1＜a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 可得a_n+1＞a_n，而a_n≥a₁=2＞1，可得结论；
（II）将a_n+1=a_n²-a_n+1转化成a_n+1-1=a_n（a_n-1），然后利用裂项求和法进行求和，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 …2分
∴a_n≥a₁=2＞1，则（a_n-1）²≠0⇒a_n+1＞a_n 所以1＜a_n＜a_n+1 …5分
（Ⅱ）证明：a_n+1=a_n²-a_n+1⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以 …7分
得

所以 …10分
==…12分
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，同时考查了裂项求和法的运用和计算能力的考查，属于中档题．