Question

设抛物线C：y²=2px，AB是过焦点的弦，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），l为准线，给出以下结论：
①4x₁x₂=p²；②以AB为直径的圆与准线l相离；③；  ④设准线l与x轴交于点N，则FN平分∠ANB；⑤过准线l上任一点M作抛物线的切线，则切点的连线必过焦点．则以上结论正确的是    将正确结论的序号填上去）

Answer 1

【答案】分析：①由题意可设直线AB的方程为x=ky+p，联立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*），根据方程的根与系数关系可求
②分别过A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分别为P，Q，由抛物线的定义可知，AF=AP，BF=BQ，设AB的中点为C，过C作CD⊥l，垂足为D，则CD==，从而可判断
③由定义可得AF=AP=，BF=BQ=，结合①中的方程的根与系数关系可求
④要证FN平分∠ANB，即∠ANF=∠BNF，根据题意只要证明K_AN=-K_BN，即可
⑤设出切线方程，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求过切点的直线方程，进而可判断过 焦点
解答：解：由题意可设直线AB的方程为x=ky+p
联立方程消去x可得y²-2pky-p²=0（*）
则，y₁+y₂=2pk，

∴=
∴  ①正确
分别过A，B作AP⊥l，BQ⊥l，垂足分别为P，Q
由抛物线的定义可知，AF=AP，BF=BQ
设AB的中点为C，过C作CD⊥l，垂足为D，则CD===
即所作圆的圆心C到准线的距离与圆的半径相等，则以AB为直径的圆与准线l相切，②错误
由于AF=AP=，BF=BQ=
由方程（*）可得，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
===
===③错误
由题意可知N（），，
∴K_AN+K_BN==
===0
∴K_AN=-K_BN，则可得∠ANF=∠BNF即FN平分∠ANB，④正确
设点M（-），切点分别为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），从而可得切线的方程为y-m=k（x+）
联立方程可得ky²-2py+kp²+2pm=0（*）
由题意可得，△=4p²-4k（kp²+2pm）=0即pk²+2mk-p=0
则k₁k₂=-1（k₁，k₂分别为切线ME，MF的斜率）
对应方程（*）可得，
即，F
∴===-
∴过切点EF的直线方程为y-
即=，即直线EF过焦点（），⑤正确
点评：本题主要考查了抛物线的性质的应用，解题的关键是灵活利用抛物线的定义进行解题，属于综合性试题