题目内容
（2012•长宁区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为
=(1，a)的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；
（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为
| d |
（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，|P1P2|=8，可得p的值，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，利用韦达定理，可表示出△FAB的面积S（a），从而可求其值域；
（3）设直线方程为py=x-m代入y2=8x，利用∠AFB为钝角，可得
•
＜0，进而可得m2-12m+4＜16p2，该不等式对任意实数p恒成立，由此可得m的取值范围．
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，利用韦达定理，可表示出△FAB的面积S（a），从而可求其值域；
（3）设直线方程为py=x-m代入y2=8x，利用∠AFB为钝角，可得
| FA |
| FB |
解答：解：（1）由条件|P1P2|=8，可得2p=8，∴抛物线C的方程为y2=8x；…．（4分）
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，∴ay2-8y-24a=0，…．（6分）
△=64+96a2＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
，y1y2=-24，…．（7分）
S△=
|MF|•|y1-y2|=
=2
，…．（9分）
∴S△∈(2
，+∞)．…．（10分）
（3）设所作直线的方向向量为
=(p，1)，则直线方程为py=x-m代入y2=8x得y2-8py-8m=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=8p，y1y2=-8m．…．（12分）
又F（2，0），则
(x1-2，y1)，
=(x2-2，y2)，
∵∠AFB为钝角，∴
•
＜0，∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，…．（14分）
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，∴
-2[p(y1+y2)+2m]+4-8m＜0
∴m2-12m+4＜16p2，该不等式对任意实数p恒成立，…．（16分）
因此m2-12m+4＜0，∴6-4
＜m＜6+4
．…．（17分）
又m≠2，因此，当m∈(6-4
，2)∪(2，6+4
)时满足条件．…．（18分）
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，∴ay2-8y-24a=0，…．（6分）
△=64+96a2＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
| 8 |
| a |
S△=
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| |a| |
6+
|
∴S△∈(2
| 6 |
（3）设所作直线的方向向量为
| d |
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=8p，y1y2=-8m．…．（12分）
又F（2，0），则
|
| FB |
∵∠AFB为钝角，∴
| FA |
| FB |
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，∴
| (y1y2)2 |
| 64 |
∴m2-12m+4＜16p2，该不等式对任意实数p恒成立，…．（16分）
因此m2-12m+4＜0，∴6-4
| 2 |
| 2 |
又m≠2，因此，当m∈(6-4
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
快乐5加2金卷系列答案
相关题目