Question

已知数列中，，前项和．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查等差数列的证明、等差数列的通项公式、累加法、裂项相消法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将中的n用n+1代替得到新的表达式，两式子相减得到，再将这个式子中的n用n+1代替，得到一个新的式子，两式子相减得到，从而证明了数列为等差数列；第二问，利用第一问的结论，先计算通项，通过裂项化简，利用裂项相消法求和，得到，再放缩，与作比较.
试题解析：（1）（解法一）∵
∴
∴                3分
整理得
∴ 
两式相减得          5分
即
∴，即             7分
∴ 数列是等差数列
且，得，则公差
∴                                             8分
（解法二）   ∵
∴
∴                  3分
整理得
等式两边同时除以得 ，          5分
即                        6分
累加得



得                                          8分
（2） 由（1）知
∴              10分
∴ 

                                                12分
则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要
∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为    14分