Question

已知函数，.
（1）函数的零点从小到大排列，记为数列，求的前项和；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）设点是函数与图象的交点，若直线同时与函数，的图象相切于点，且
函数，的图象位于直线的两侧，则称直线为函数，的分切线.
探究：是否存在实数，使得函数与存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）当时，函数与存在分切线，为直线.

试题分析：本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．第一问，先解三角方程，零点值构成等差数列，利用等差数列的通项公式，求和公式求；第二问，先将恒成立转化为，利用导数判断函数的单调性，求出最大值，得到a的取值范围；第三问，将函数和存在分切线转化为“”或“”在 上恒成立，结合（1）（2）判断是否符合题意，再进行证明.
试题解析：（1）∵， ∴ ∴，．      1分
∴，                      2分
∴．                             4分
（2）∵在上恒成立，
∴在上恒成立．                   5分
设，  ∴，           6分
∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递增，
∴的极大值为，
∴的最大值为，    ∴ ．               8分
（3）若函数与存在分切线，则有“”或“”在 上恒成立，
∵当时，，．
∴，使得，   ∴在不恒成立．
∴只能是在上恒成立．                        9分
∴由（2）可知， ∵函数与必须存在交点， ∴．      10分
当时，函数与的交点为,∵，
∴存在直线在点处同时与、相切，
∴猜测函数与的分切线为直线．            11分
证明如下：
①∵，
设，则．
令，则有．
∴在上单调递增，∴在上有且只有一个零点．
又∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
即在上恒成立．
∴函数的图象恒在直线的上方．             13分
②∵在上恒成立，
∴函数的图象恒在直线的下方．
∴由此可知，函数与的分切线为直线，
∴当时，函数与存在分切线，为直线．         14分