Question

5．如图，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面的直径，E是CD的中点．求证：
（1）O′E∥平面ABC；
（2）平面O′CD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点O，连接OO′，OE，可证OO′∥AB，又可证OE∥BC，从而可证平面ABC平面O′OE，即可证明O′E∥平面ABC．
（2）可证DC⊥BC，AB⊥CD，从而证明CD⊥平面ABC，又CD?平面平面O′CD，从而可证平面O′CD⊥平面ABC．

解答 证明：（1）如图，取BD的中点O，连接OO′，OE，
∵AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，
∴OO′∥AB
又∵△BCD中，O，E分别为BD，CD的中点，
∴OE∥BC，
∵AB∩BC=B，OO′∩OE=O，
∴平面ABC平面O′OE，
又∵OE?平面O′OE，
∴O′E∥平面ABC．
（2）∵△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面的直径，
∴DC⊥BC，
∵AB⊥平面BCD，DC?平面BCD，
∴AB⊥CD，
又∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC．
∵CD?平面平面O′CD
∴平面O′CD⊥平面ABC．

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．