Question

P：函数y=log_ax在（0，+∞）内单调递减；Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意得先解出P命题为真时a的范围（0，1）与Q命题为真时a的范围(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)．由P或Q为真，P且Q为假，可得P与Q有且只有一个为真．分两种情况讨论进而可以求出答案．

解答：解：因为函数y=log_ax在（0，+∞）内单调递减，所以a∈（0，1）．
又因为曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，
所以△=（2a-3）²-4＞0
解得：a∈(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)．
因为：P或Q为真，P且Q为假，
所以P与Q有且只有一个为真．
若P真Q假，则

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，
所以a∈[

1

2

，1)．
若P假Q真，则

a≤0或a≥1 a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，
所以a∈(-∞，0]∪(

5

2

，+∞)．
综上所述a∈(-∞，0]∪(

5

2

，+∞)∪[

1

2

，1)．
所以a的取值范围(-∞，0]∪(

5

2

，+∞)∪[

1

2

，1)．

点评：解决此类问题的关键是正确求出命题为真时的参数范围再结合真值表进行判断，进而求出符合条件的参数的范围．