Question

在曲线

x=t+4cosθ y=4sinθ

(θ为参数)上，仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，则t的取值范围是______．

Answer 1

到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等的点的轨迹是抛物线y²=4x．
由曲线

x=t+4cosθ y=4sinθ

(θ为参数)消去参数θ，化为（x-t）²+y²=16，圆心C（t，0），半径r=4．
联立

y2=4x (x-t)2+y2=16

消去y得到关于x的一元二次方程x²+（4-2t）x+t²-16=0，
由△=（4-2t）²-4（t²-16）＞0，解得t＜5．
满足仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，必须满足t＞4．
因此所求的t的取值范围为（4，5）．
故答案为（4，5）．