Question

在曲线

x=t+4cosθ y=4sinθ

(θ为参数)上，仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，则t的取值范围是

（4，5）

．

Answer 1

分析：先求出两圆锥曲线的方程，再利用判别式及已知条件即可得出t的取值范围．

解答：解：到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等的点的轨迹是抛物线y²=4x．
由曲线

x=t+4cosθ y=4sinθ

(θ为参数)消去参数θ，化为（x-t）²+y²=16，圆心C（t，0），半径r=4．
联立

y2=4x (x-t)2+y2=16

消去y得到关于x的一元二次方程x²+（4-2t）x+t²-16=0，
由△=（4-2t）²-4（t²-16）＞0，解得t＜5．
满足仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，必须满足t＞4．
因此所求的t的取值范围为（4，5）．
故答案为（4，5）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的方程及探究相交时满足特殊条件的等价转化是解题的关键．