Question

有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．

Answer 1

试题分析：本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程,再过点B可求出,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.
试题解析：
法一：由题意可设所求的方程为，又因为此圆过点，将坐标代入圆的方程求得，所以所求圆的方程为.
法二：设圆的方程为，
则圆心为，由，得
解得
所以所求圆的方程为.
法三：设圆的方程为，由，,在圆上，得
解理
所以所求圆的方程为.
法四：设圆心为C，则，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为，
即.
又因为，
所以，所以直线BP的方程为.
解方程组得所以．
所以圆心为AP的中点，半径为,
所以所求圆的方程为.