Question

5．已知△ABC三边为a，b，c三边所对角为A，B，C，满足 acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求角A．
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式转化成角的正弦的关系式，利用两角和公式化简整理可求得cosA的值，进而求得A．
（2）先由正弦定理用角C、B表示出c、b，实现了边向角的转变，进而转化成三角函数求值域问题求解．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosC+$\frac{1}{2}$c=b，
∴由正弦定理得：sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sin（A+C），
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°…（6分）
（2）∵$\frac{1}{sin60°}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，
同理c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
因为∠A=60°，所以B+C=120°，
所以△ABC周长=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）]=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1，…（12分）
因为0＜A＜$\frac{2π}{3}$，所以 $\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
所以△ABC周长的取值范围为（2，3]…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理的运用，运用了转化和化归的思想，考查了解三角形的有关知识，考查了学生的分析能力和运算能力，属于中档题．