Question

15．在平面直角坐标系xoy中，设P（x，y）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$上的一个动点．
（1）写出椭圆的参数方程；
（2）求S=x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的标准方程写出它的参数方程．
（2）根据S=x+y=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的值域求得S=x+y的最大值．

解答 解：（1）∵P（x，y）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$上的一个动点，令x=$\sqrt{3}$cosθ，则y=sinθ，
故椭圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.（θ为参数）$．
（2）由于S=x+y=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），故S=x+y的最大值为2．

点评 本题主要考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，辅助角公式，正弦函数的最值，属于基础题．