Question

已知θ∈R，直线(1-2cosθ)x-

3

y=0的倾斜角的取值范围是

[0，

π

3

]∪[

5π

6

，π）

．

Answer 1

分析：将直线化成斜截式，得斜率k=

3

3

（1-2cosθ），由cosθ∈[-1，1]算出k∈[-

3

3

，

3

]，再根据斜率与倾斜角的关系式加以计算，即可得到直线倾斜角的取值范围．

解答：解：直线(1-2cosθ)x-

3

y=0化成斜截式，得y=

3

3

（1-2cosθ）x
∴直线的斜率k=

3

3

（1-2cosθ），
∵θ∈R，cosθ∈[-1，1]，
∴-1≤1-2cosθ≤3，可得k=

3

3

（1-2cosθ）∈[-

3

3

，

3

]
设直线的倾斜角为α，则
①当0≤k≤

3

时，由tanα∈[0，

3

]得α∈[0，

π

3

]；
②当-

3

3

≤k＜0时，由tanα∈[-

3

3

，0）得α∈[

5π

6

，π）
综上所述，得直线的倾斜角α∈[0，

π

3

]∪[

5π

6

，π）．
故答案为：[0，

π

3

]∪[

5π

6

，π）

点评：本题给出直线含有参数系数的方程，求直线倾斜角的范围．着重考查了直线的基本量与基本形式、正切函数的单调性等知识，属于中档题．