题目内容
【题目】已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求证： 
；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
【答案】
（1）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．
∴ 
=（1，1）， 
=（﹣3，3）．
又∵ 
=1×（﹣3）+1×3=0，
∴ ．
（2）解：∵ ，若四边形ABCD为矩形，则 
．
设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），
∴ 
即 
∴点C的坐标为（0，5）．
由于 
=（﹣2，4）， 
=（﹣4，2），
∴ 
=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16， 
=2 
．
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ= 
= 
＞0．
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为 ．
【解析】（1）运用平面向量的数量积得出 =1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（2） ． ，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ= = ＞0．
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