题目内容

设
a
=（1+cos x，1+sin x），
b
=（1，0），
c
=（1，2）．
（1）求证：（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）；
（2）求|
a
|的最大值，并求此时x的值．φ
分析：（1）由题意可得
a
-
b
和
a
-
c
的坐标，计算其数量积为0即可；（2）由题意可得|
a
|2的不等式，由三角函数的值域可得|
a
|2的最大值，开方可得所求．
解答：解：（1）由题意可得
a
-
b
=（cosx，1+sinx），
a
-
c
=（cosx，sinx-1），
∴（
a
-
b
）•（
a
-
c
）=cos2x+sin2x-1=0，
∴（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）
（2）由题意可得|
a
|2=（1+cosx）2+（1+sinx）2
=3+2（sinx+cosx）=3+2
2
sin（x+
π
4
），
由三角函数的值域可知，当x+
π
4
=2kπ+
π
2
，
即x=2kπ+
π
4
（k∈Z）时，|
a
|2取最大值3+2
2
，
此时|
a
|取最大值
3+2
2
=
2
+1
点评：本题考查向量的数量积与向量的垂直关系，涉及向量的模长，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
与
c
的夹角为θ1，
b
与
c
的夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求证：△ABD是正三角形．
设
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
与
c
的夹角为θ1，
b
与
c
夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．
设
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
与
c
的夹角为θ1，
b
与
c
夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．
设
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
与
c
的夹角为θ1，
b
与
c
的夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求证：△ABD是正三角形．

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