Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，直线别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以 为直径的圆都必过点，并求出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，点P坐标为或．

【解析】

（1）依题意得，解出即可；

（2）假设存在这样的点P，设，，，则，

联立直线与椭圆方程求得点，进而求出直线的方程，由此可得，同理可得，由此可得，解出即可得出结论．

（1）解：依题意，解得，

∴椭圆方程为；

（2）证：假设存在这样的点P，设，，，则，

联立，消去，得，

解得，，即，

∵，

∴直线的斜率，

∴直线的方程为，

可得，

同理可得，

∴，，

则，解得或，

∴存在点且坐标为或，使得无论非零实数怎么变化，以为直径的圆都必过点．