Question

（本小题满分13分）

已知函数，其中a为常数，且.

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）是函数的极小值点，是函数的极大值点（2）

【解析】解法一：（Ⅰ）依题意得，所以，    ………………1分

         令，得，                                                       .………………………2分

         ，随x的变化情况入下表：

x
	－	0	+	0	－
		极小值		极大值

 

………………………4分

         由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点.

………………………5分

（Ⅱ）   ,                                      .………………………6分

由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，……7分

      当时，，显然对任意恒成立；  .…………………8分

      当时，等价于，

因为，不等式等价于,

.………………………9分

      令，

      则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，

所以在上的最小值为，                           .………………………11分

由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，

需且只需，即，解得，因为，所以.

综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.

.………………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）,                                         .………………………6分

由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，

      即对任意恒成立，                       …………………7分

      当时，，显然对任意恒成立；  …………………8分

         当时，令，则函数图象的对称轴为，

.………………………9分

         若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以;    ..………………………11分

         若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.

综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为……13分