Question

14．设函数f（x）=xlnx-ax²．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线在点P处的切线方程；
（2）若f（x）在（0，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点P在曲线上，满足方程，可得a=1，求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，可得切线方程；
（2）由题意可得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．即f′（x）=lnx+1-2ax≤0，且x＞0，运用参数分离，得a≥$\frac{lnx+1}{2x}$，运用导数求得右边函数的最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由题意知f（x）的图象过点（1，-1），
所以ln1-a=-1，解得a=1，
则f（x）=xlnx-x²，f′（x）=lnx+1-2x，
切线斜率k=f′（1）=-1，
所以f（x）的图象在点（1，-1）处的切线方程为y+1=-（x-1），
即为x+y=0；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
即f′（x）=lnx+1-2ax≤0，且x＞0，得a≥$\frac{lnx+1}{2x}$，
令h（x）=$\frac{1+lnx}{2x}$，则h′（x）=$\frac{-2lnx}{4{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．
∴h（x）在x=1有最大值，且h（x）_max=h（1）=$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离，属于中档题．