Question

5．设函数${f_1}（x）=x\;，{f_2}（x）={log_{2016}}x\;，{a_i}=\frac{i}{2016}\;（\;i=1，\;\;\;2，\;\;\;…2016\;）$，记I_k=|f_k（a₂）-f_k（a₁）|+|f_k（a₃）-f_k（a₂）|+…+|f_k（a₂₀₁₆）-f_k（a₂₀₁₅）|，k=1，2，则（　　）

• A． I₁＜I₂
• B． I₁＞I₂
• C． I₁=I₂
• D． I₁，I₂大小关系不确定

Answer 1

分析 由于f₁（a_i+1）-f₁（a_i）=$\frac{i+1}{2016}$-$\frac{i}{2016}$=$\frac{1}{2016}$．可得I₁=|$\frac{2}{2016}$-$\frac{1}{2016}$|×2015．由于f_i+1（a_i+1）-f_i（a_i）=log₂₀₁₆$\frac{i+1}{2016}$-log₂₀₁₆$\frac{i}{2016}$=log₂₀₁₆$\frac{i+1}{i}$．即可得出I₂=log₂₀₁₅2015，进而得到答案．

解答 解：∵f₁（a_i+1）-f₁（a_i）=$\frac{i+1}{2016}$-$\frac{i}{2016}$=$\frac{1}{2016}$．
∴I₁=|f₁（a₂）-f₁（a₁）|+|f₁（a₃）-f₁（a₂）|+…+|f₁（a₂₀₁₅）-f₁（a₂₀₁₄）|
=|$\frac{2}{2016}$-$\frac{1}{2016}$|×2015=$\frac{2015}{2016}$．
∵f₂（a_i+1）-f₂（a_i）=log₂₀₁₆$\frac{i+1}{2016}$-log₂₀₁₆$\frac{i}{2016}$=log₂₀₁₆$\frac{i+1}{i}$．
∴I₂=|f₂（a₂）-f₂（a₁）|+|f₂（a₃）-f₂（a₂）|+…+|f₂（a₂₀₁₅）-f₂（a₂₀₁₄）|
=log₂₀₁₆（$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{2016}{2015}$）=log₂₀₁₆2016=1，
∴I₁＜I₂．
故选：A．

点评 本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于中档题．