Question

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₃=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求T₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得S_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{a_3}={a_1}+2d=6\end{array}\right.$，∴d=2，
数列{a_n}的通项公式a_n=2+（n-1）•2=2n．
（2）∵${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T₂₀₁₃=T₁+T₂+T₃+…+T₂₀₁₆=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}}）$=$1-\frac{1}{2017}=\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．