Question

已知点A（-1，0），B（1，-1），抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P，直线MB交抛物线C于另一点Q．
（I）若向量与的夹角为，求△POM的面积；
（Ⅱ）证明直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

【答案】分析：（I）设点p，M，A三点共线进而可知AM和PM的斜率相等求得y₁y₂=4进而根据向量积的运算和两向量的夹角，求得的值，进而利用三角形面积公式求得三角形POM的面积．
（II）设出Q的坐标，根据M，B，Q共线，利用BQ和QM的斜率相等利用点的坐标求得y₁y₃+y₁+y₃+4=0．，把y₁y₂=4代入求得y₂和y₃的关系式，表示出PQ的斜率，进而可表示出直线PQ的方程，进而利用4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0求得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1），进而可推断出直线PQ过定点．
解答：解：（I）设点p，M，A三点共线，∴k_AM=k_PM，
即，即，∴y₁y₂=4，
∴．
∵向量与的夹角为45°，∴，
∴．
（II）设点，y₃），
∵M，B，Q三点共线，∴k_BQ=k_QM，
即，即，
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=y₃²-4，即y₁y₃+y₁+y₃+4=0．
∵y₁y₂=4，即，∴，
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0．（*）∵，
∴直线PQ的方程是，
即（y-y₂）（y₂+y₃）=4x-y₂²，即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x．
由（*）式，-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直线PQ过定点E（1，-4）．
点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析几何的基础知识．考查了学生分析推理和基本的运算能力．