Question

讨论函数f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx在a∈R时的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意确定函数的定义域，再求导f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，分5种情况讨论导数的正负，以确定函数的单调性．

解答： 解：f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，
①当a≥0时，ax+a+1＞0，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
f′（x）=

a(x+ a+1 a )(x-1)

x

，
②当-

1

2

＜a＜0时，

a+1

a

＜-1；
故当x∈（0，1）∪（-

a+1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（1，-

a+1

a

）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1），（-

a+1

a

，+∞）上是减函数，在（1，-

a+1

a

）上是增函数；
③当-1＜a＜-

1

2

时，-1＜

a+1

a

＜0；
故当x∈（0，-

a+1

a

）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-

a+1

a

，1）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，-

a+1

a

），（1，+∞）上是减函数，在（-

a+1

a

，1）上是增函数；
④当a=-

1

2

时，f′（x）≤0；
故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
⑤当a≤-1时，ax+a+1＜0，
故故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想，分类标准比较难，属于难题．