Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，g（x）=alnx．
（1）讨论函数y=f（x）-g（x）的单调区间
（2）设h（x）=f（x）-g（x），若对任意两个不等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{h（{x_1}）-h（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＜x²-4x在（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x-alnx，
y′=x-2-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{x}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-a-1}{x}$，
令m（x）=（x-1）²-a-1，
①-a-1≥0即a≤-1时，
y′＞0，函数在（0，+∞）递增，
②-a-1＜0，即a＞-1时，
令m′（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{a+1}$＞1，或x＜1-$\sqrt{a+1}$＜0，（舍），
令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1+$\sqrt{a+1}$，
故函数y=f（x）-g（x）在（0，1+$\sqrt{a+1}$）递减，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：h′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{x}$＞2，
故x²-2x-a＞2x在（0，+∞）恒成立，
即a＜x²-4x在（0，+∞）恒成立，
令m（x）=x²-4x，（x＞0），
则m（x）=（x-2）²-4≥-4，
故a≤-4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．