Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A。

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题意有，
又，
因此，
可得，
所以，
即。
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，
又；
同理；
又，
所以均成立；
当n≥10时，
取i=5，则，
可知n＜10；
又当n≤9时，，
所以n≤9。
（Ⅲ）解：对于任意，
由可知，
，
因此，只需对成立即可．
因为，
因此可设，
由；
由；
由；
由；
所以满足条件的一个集合。