Question

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥

xy

25

．
（Ⅰ）求证：

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

；    
（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意有|ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜＜a_n，因此ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)．由此能够证明

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

．
（Ⅱ）由

1

a1

＞

n-1

25

，a₁≥1，可得1＞

n-1

25

，因此n＜26．同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．由此能够推导出n≤9．
（Ⅲ）对于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，由

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)，可知

1

ai

-

1

aj

≥

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

．只需对1≤i＜n，

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

成立即可，由此能够导出满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．

解答：解：（Ⅰ）证明：依题意有|ai-ai+1|≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)，又a₁＜a₂＜＜a_n，
因此ai+1-ai≥

aiai+1

25

(i=1，2，，n-1)．
可得

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)．
所以

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+

1

ai

-

1

ai+1

++

1

an-1

-

1

an

≥

n-1

25

．
即

1

a1

-

1

an

≥

n-1

25

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得

1

a1

＞

n-1

25

．
又a₁≥1，可得1＞

n-1

25

，因此n＜26．
同理

1

ai

-

1

an

≥

n-i

25

，可知

1

ai

＞

n-i

25

．
又a_i≥i，可得

1

i

＞

n-i

25

，
所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，
可知n＜10．
又当n≤9时，i(n-i)≤(

i+n-i

2

)2=(

n

2

)2＜25．
所以n≤9．
（Ⅲ）解：对于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，
由

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

(i=1，2，，n-1)可知，

1

ai

-

1

aj

≥

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

，即|ai-aj|≥

aiaj

25

．
因此，只需对1≤i＜n，

1

ai

-

1

ai+1

≥

1

25

成立即可．
因为1-

1

2

≥

1

25

；

1

2

-

1

3

≥

1

25

；

1

3

-

1

4

≥

1

25

；

1

4

-

1

5

≥

1

25

，
因此可设a₁=1；a₂=2；a₃=3；a₄=4；a₅=5．
由

1

a5

-

1

a6

≥

1

25

，可得a6≥

25

4

，取a₆=7．
由

1

a6

-

1

a7

≥

1

25

，可得a7≥

175

18

，取a₇=10．
由

1

a7

-

1

a8

≥

1

25

，可得a8≥

50

3

，取a₈=20．
由

1

a8

-

1

a9

≥

1

25

，可得a₉≥100，取a₉=100．
所以满足条件的一个集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．

点评：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．