Question

已知抛物线C：y=（x+1）²与圆M：(x-1)2+(y-

1

2

)2=r2（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₀，（x₀+1）²），根据y=（x+1）²，求出l的斜率，圆心M（1，

1

2

），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；
（Ⅱ）设（t，（t+1）²）为C上一点，则在该点处的切线方程为y-（t+1）²=2（t+1）（x-t），即y=2（t+1）x-t²+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

5

2

，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₀，（x₀+1）²），
∵y=（x+1）²，y′=2（x+1）
∴l的斜率为k=2（x₀+1）
当x₀=1时，不合题意，所以x₀≠1
圆心M（1，

1

2

），MA的斜率k′=

(x0+1)2- 1 2

x0-1

．
∵l⊥MA，∴2（x₀+1）×

(x0+1)2- 1 2

x0-1

=-1
∴x₀=0，∴A（0，1），
∴r=|MA|=

5

2

；
（Ⅱ）设（t，（t+1）²）为C上一点，则在该点处的切线方程为y-（t+1）²=2（t+1）（x-t），即y=2（t+1）x-t²+1
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

5

2

∴

|2(t+1)×1- 1 2 -t2+1|

[2(t+1)]2+1

=

5

2

∴t²（t²-4t-6）=0
∴t₀=0，或t₁=2+

10

，t₂=2-

10

抛物线C在点（t_i，（t_i+1）²）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y=2x+1①，y=2（t₁+1）x-t12+1②，y=2（t₂+1）x-t22+1③
②-③：x=

t1+t2

2

=2
代入②可得：y=-1
∴D（2，-1），
∴D到l的距离为

|4+1+1|

5

=

6

5

5

点评：本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．