Question

已知抛物线C：y=

1

2

(x2+x)，点A（-1，0），B（0，2），点E是曲线C上的一个动点（E不在直线AB上），设E（x₀，y₀），C，D在直线AB上，ED⊥AB，EC⊥x轴．
（1）用x₀表示

AE

在

AB

方向上的投影；
（2）

| AC |

| AD |

2是否为定值？若是，求此定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据E（x₀，y₀），A（-1，0），B（0，2），写出向量

AE

、

AB

的坐标，根据投影的定义可用x₀表示

AE

在

AB

方向上的投影；
（2）先求出点D的坐标，进而表示出向量

AC

，

AD

，再求出相应的模，即可得结论．

解答：解：（1）E（x₀，y₀），A（-1，0），B（0，2）
∴

AE

=(x0+1，y0)，

AB

=(1，2)
∴

AE

在

AB

方向上的投影为

AE • AB

| AB |

=

x0+1+2y0

5

=

x0+1+ x 2 0 +x0

5

=

x 2 0 +2x0+1

5

（2）直线AB为y=2x+2，所以C（x₀，2x₀+2），D(

1

5

x

2 0

-

4

5

，

2

5

x

2 0

+

2

5

)
∴

AC

=(x0+1，2x0+2)，

AD

=(

1

5

x

2 0

+

1

5

，

2

5

x

2 0

+

2

5

)
∴

| AC |

| AD |

2=5

5

点评：本题以抛物线为载体，考查向量的数量积，考查向量的模，有一定的综合性．