Question

求函数y=

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：问题等价于求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值． 做点（0，1）关于x轴的对称点（0，-1），则就是求点（x，0）到两点（0，-1），（4，2）的距离之和的最小值，可得结论．

解答： 解：因为

x2+1

+

(4-x)2+4

=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-4)2+(0-2)2

所以可以看成是点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和．
问题等价于求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值．
做点（0，1）关于x轴的对称点（0，-1），则就是求点（x，0）到两点（0，-1），（4，2）的距离之和的最小值，
根据三角形两边之和大于第三边知：最小值就是点 （0，-1）和（4，2）的距离，为

42+(2+1)2

=5．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，转化为求点（x，0）到两点（0，1），（4，2）的距离之和的最小值是关键．