Question

    如图：直平行六面体，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD＝60°，E为AB中点，二面角为60°。

    （I）求证：平面⊥平面；

    （II）求二面角的余弦值；

    （III）求点到平面的距离。

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（I）证明：连结BD，在菱形ABCD中：∠BAD＝60°     ∴△ABD为正三角形     ∵E为AB中点，∴ED⊥AB     在直六面体中：平面⊥平面ABCD且交于AB     ∵面ABCD     ∴ED⊥面     ∴平面⊥平面     （II）解：（解法一）由（I）知：ED⊥面     ∵面，∴     直平行六面体中：⊥面ABCD     由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED     ∴∠A1EA为二面角的平面角     ∴     取中点F，连EF、，则：     在直平行六面体中：         ∴E、F、C1、D四点共面     ∵ED⊥面ABB1A1且EF面     ∴∠A1EF为二面角的平面角     在中：     在中：     在中：     ∴在中，     ∴二面角的余弦值为     （解法二）由已知得：二面角为     可证得：∠C1DC为二面角的平面角     求得：     故二面角的大小为     所以，二面角的余弦值为     （III）过F作FG⊥A1E交于G点     ∵平面A1ED⊥平面ABB1A1且平面A1ED平面     ∴FG⊥面，即：FG是点F到平面A1ED的距离     在中：         且E、D面     ∴C1到平面的距离为：