Question

不等式2lg²x-lgx-1＞0的解集为

{x|

10

10

＜x＜10}

．

Answer 1

分析：设lgx=y，将原不等式化为关于y的一元二次不等式，根据两数相乘积为正，得到两因式同号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集得到y的范围，即为lgx的范围，根据底数为10大于1，得到对数函数为增函数，利用对数的运算性质增减性求出x的范围，即为原不等式的解集．

解答：解：设lgx=y，原不等式化为：2y²-y-1＞0，
因式分解得：（2y+1）（y-1）＞0，
可化为：

2y+1＞0 y-1＞0

或

2y+1＜0 y-1＜0

，
解得：-

1

2

＜y＜1，
∴-

1

2

＜lgx＜1，即lg

10

10

＜lgx＜lg10，
又lgx底数为10＞1，为增函数，
∴

10

10

＜x＜10，
则原不等式的解集为{x|

10

10

＜x＜10}．
故答案为：{x|

10

10

＜x＜10}

点评：此题考查了其他不等式的解法，对数函数的增减性，以及对数的运算性质，利用了转化的思想，是一道中档题．