Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导数f′(x)＜

1

2

，则不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

的解集为

 

．

Answer 1

分析：首先分析题目已知f（1）=1，且f（x）在R上的导数f′(x)＜

1

2

，求不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

的解集，考虑到用函数单调性求解，由f'（x）＜

1

2

，可以判断出函数f（x）-

x

2

在R上是减函数，然后对不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

移向化简，再根据已知条件可以得到f（t）-

t

2

＜f（1）-

1

2

，然后根据函数单调性求解即可得到答案．

解答：解：因为f'（x）＜

1

2

，即：f'（x）-

1

2

＜0，
令：g（x）=f（x）-

x

2

，可以判断g（x）在R上的减函数，
设：t=lgx，
所以不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

可化为f（t）＜

(t+1)

2

，f（t）-

t

2

＜

1

2

=f（1）-

1

2

，
即g（t）＜g（1），所以t＞1，
即lgx＞1，x＞10，即不等式解集为（10，+∞）
故答案为（10，+∞）．

点评：此题主要考查不等式解集的问题，题中涉及到利用导函数判断函数单调性的问题，题中构造函数g（x）=f（x）-

x

2

是题目的关键，有一定的技巧性，属于中档题目．