Question

数列{a_n} 的前n 项和为S_n，且a1=1，an+1=

1

3

Sn，求
（1）数列{a_n} 的通项公式；               
（2）a₂+a₄+a₆+…+a_2n 的值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用递推公式a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，从而可转化得an+1=

4

3

an，(n≥2)，结合等比数列的通项公式可求
（2）由（1）及等比数列的性质可知a₂，a₄，…，a_2n 是等比数列，利用等比数列的求和公式可求

解答：解：（1）由a1=1，an+1=

1

3

Sn 
得：an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an，(n≥2) 
即：an+1=

4

3

an，(n≥2) （2分）
∵a2=

1

3

，
∴an=

1

3

(

4

3

)n-2，(n≥2) （2分）
∴an=

1 ，n=1 1 3 ( 4 3 )n-2 ，n≥2

 （1分）
（2）由（1）可知a₂，a₄，…，a_2n 是首项为

1

3

，公比为(

4

3

)2，项数为n 的等比数列，
∴a2+a4+a6+…+a2n=

1 3 [1-( 4 3 )2n]

1-( 4 3 )2

=

3

7

[(

4

3

)2n-1] （3分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

的应用，等比 数列的通项公式及求和公式 的综合应用